Модельні категорії

PhD Деніела Квілена була присвячена диференціальним рівнянням, але відразу після цього він перевівся в МІТ і почав працювати в алгебраїній топології, під впливом Дена Кана. Через три роки він видає Шпрінгеровські лекції з математики "Гомотопічна алгебра" [0], яка назавжди трансформувала алегбраїчну топологію від вивчення топологічних просторів з точністю до гомотопій до загального інструменту, що застосовується в інших галузях математики.

Модельні категорії вперше були успішно застосовані Воєводським на підтвердження кон'юнктури Мілнора [1] (для 2) і потім мотивної кон'юнктури Блоха-Като [2] (для n). Для доказу для 2 була побудована зручна гомотопічна стабільна категорія узагальнених схем. Інфініті категорії Джояля, досить добре досліджені Лур'є [3], є прямим узагальненням модельних категорій.

До часу, коли Квіллен написав "Гомотопічну алгебру", вже було деяке уявлення про те, як має виглядати теорія гомотопій. Починаємо ми з категорії С та колекції морфізмів W – слабкими еквівалентностями. Завдання вправи інвертувати W морфізму щоб отримати гомотопічну категорію. Хотілося б мати спосіб, щоб можна було конструтувати похідні функтори. Для топологічного простору X, його апроксимації LX і слабкої еквівалентності LX -> X це означає, що ми повинні замінити X на LX. Це аналогічно до заміни модуля або ланцюгового комплексу на проективну резольвенту. Подвійним чином, для симпліційної множини K, Кан комплексу RK, і слабкої еквілентності K -> RK ми повинні замінити K на RK. У цьому випадку це аналогічно до заміни ланцюгового комплексу ін'єктивною резольвентою.

modelStructure (C: category): U = (fibrations: fib C) * (cofibrations: cofib C) * (weakEqivalences: weak C) * unit

Таким чином Квілену потрібно було окрім поняття слабкої еквівалентності ще й поняття розшарованого (RK) та корозшарованого (LX) об'єктів. Ключовий інстайт з топології тут наступний, в неабелевих ситуаціях об'єкти не надають достатньої структури поняття точної послідовності. Тому стало зрозуміло, що для відновлення структури необхідно ще два класи морфізмів: розшарування та корозшарування на додаток до слабких еквівалентностей, яким ми повинні інвертувати для розбудови гомотопічної категорії. Природно ці три колекції морфізом повинні задовольняти набору умов, званих аксіомами модельних категорій: 1) наявність малих лімітів і колимітів, 2) правило 3-для-2, 3) правило ректрактів, 4) правило підйому, 5) правило факторизації.

Цікавою властивістю модельних категорій є те, що дуальні до них категорії перевертають розшарування та корозшарування, таким чином реалізуючи дуальність Екманна-Хілтона. Розшарування та корозшарування пов'язані, тому взаємовизначені. Корозшарування є морфізми, що мають властивість лівого гомотопічного підйому по відношенню до ациклічних розшарування і розшарування є морфизми, що мають властивість правого гомотопічного підйому по відношенню до ациклічних кофібрацій.

Основним застосуванням модельних категорій у роботі Квілена було присвячено категоріям топологічних просторів. Для топологічних просторів існує дві модельні категорії: Квілена (1967) та Строма (1972). Перша як розшарований використовує розшарування Серра, а як корозшаровування морфізму які мають лівий гомотопічний підйом по відношенню до ациклічних розшарування Серра, еквівалентно це ретракти відповідних CW-комплексів, а як слабка еквівалентність виступає слабка гомотопічна. Друга модель Строма як розшарування використовуються розшарування Гуревича, як корозшарування стандартні корозшаровування, і як слабка еквівалентність - сильна гомотопічна еквівалентність.

quillen67 : modelStructure Top = ( serreFibrations , retractsCW , weakHomotopyEquivalence ) strom1972 : modelStructure Top = ( hurewiczFibrations , cofibrations , strongHomotopyEquivalence )

Найпростіші модельні категорії можна побудувати для категорії множин, де кількість ізоморфних моделей зростає до дев'яти. Наведемо деякі конфігурації модельних категорій для категорії множин:

set0: modelStructure Set = (all,all,bijections) set1: modelStructure Set = (bijections,all,all) set2: modelStructure Set = (all,bijections,all) set3: modelStructure Set = (surjections,injections,all) set4: modelStructure Set = (injections,surjections,all)

У контексті модельних категорій визначаються сполучення Квілена, лівий і правий функтори Квілена, Квілен еквівалентності, лівий і правий похідні функтори, розширення Ріді (оскільки в загальному випадку ліміти та коліміти не існують у гомотопічних категоріях визначених на модельних категоріях, то модельні категорії Наприклад є категорії С, і Ріді категорії J то J -> C має всю необхідну структуру для існування гомотопічних (ко-)лімітів.

Для переходу від модельних категорій до інфініті категорій [або (∞,1)-категорій] необхідно перейти до категорій де морфізми утворюють не множини, а симпліційні множини. Потім можна переходити до локалізації.

simplicial : modelStructure sSet = ( kanComplexes , monos , simplicialBijections )

Але для нас, для програмістів найцікавішими є модельні категорії симпліціальних множин та модельні категорії кубічних множин, саме в цьому сеттингу написано CCHM пейпер 2016 року, де показано модельну структуру категорії кубічних множин [4,5].

cubical : modelStructure cSet = ( kanComplexes , monos , geometricRealisation )

де cSet = [□op,Set], а □ — категорія збагачена структурою алгебри де Моргана.



[0]. Homotopical Algebra. D.Quillen. 1967.
[1]. The Milnor conjecture. V.Voevodsky. 1996.
[2]. Bloch-Kato conjecture for Z/2 coefficients and algebraic Morava K-theories. V.Voevodsky. 2003.
[3]. Higher Topos Theory. J.Lurie. 2009.
[4]. Model structure on cubical sets. J.Jardine. 2002.
[5]. Model structure on cubical sets. E.Cavallo, A.Mörtberg, A.Swan. 2019.
[6]. Univalence in Simplicial Sets. C.Kapulkin, P.Lumsdaine, V.Voevodsky. 2012.
[7]. The constructive Kan-Quillen model structure: two new proofs.
N.Gambino, C.Sattler, K.Szumiło. 2019.
[8]. Homotopy Limits, Completions and Localizations. D.Kan, A.Bousfield. 1972.
[9]. A1-homotopy theory of schemes. F.Morel, V.Voevodsky. 1999.